Définition
Définition de la connexité par arc :
- soit \((E,\tau)\) un espace topologique
- soit \(F\subset E\)
- \(\forall x,y\in F,\exists\gamma:[0,1]\to F\) continue telle que \(\gamma(0)=x\) et \(\gamma(1)=y\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(F\) est connexe par arc
Propriétés
Connexité
Propriété :
Les connexes par arc sont connexes
(
Connexité)
[!Warning]
La réciproque n'est pas vraie
Par exemple, pour le sinus du topologue \(f:]0,1[\to{\Bbb R}\), \(f(x)=\sin(\frac1x)\)
Si \(\Gamma\) est le graphe de \(f\) dans \({\Bbb R}^2\), \(\overline\Gamma\) est connexe mais pas connexe par arc
(l'arc est de longueur infinie lorsqu'on s'approche de \(0\))
